Alexandre ou Alexander Grothendieck, né le 28 mars 1928 à Berlin, mort le 13 novembre 2014 à Saint-Lizier près de Saint-Girons (Ariège), est un mathématicien apatride, naturalisé français en 1971, qui a passé la majorité de sa vie en France. Lauréat de la médaille Fields en 1966, refondateur de la géométrie algébrique, il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle. Il est connu pour son intuition extraordinaire et sa capacité de travail phénoménale.

Ascendance et enfance

Sacha Schapiro, son père, est un anarchiste militant né près de Bryansk, ville située en Russie. Après avoir passé dix ans en prison pour sa participation à plusieurs soulèvements anti-tsaristes, Sacha rejoint Berlin où il rencontre sa future compagne, Hanka Grothendieck, protestante hambourgeoise qui partage l'idéal anarchiste. Elle est alors mariée à Johannes Raddatz : Alexander naît de la liaison de sa mère avec Sacha Schapiro mais reçoit d’abord le nom de son père légitime : « Raddatz ». Hanka divorce de Johannes Raddatz en 1929 mais n’épouse pas Sacha, père biologique d’Alexander qui reconnaît néanmoins son fils. Ensuite Alexander porte le nom de sa mère qui a repris son nom de jeune fille : « Grothendieck ».

Hanka et Sacha fréquentent les cercles radicaux. En 1933, la montée du nazisme les contraint à quitter l'Allemagne pour l'Espagne où ils participent, en 1936, à la guerre civile aux côtés du Frente Popular. Alexander est alors placé dans la famille de Wilhelm Heydorn, un pasteur protestant, maître d'école près de Hambourg. En 1939, les Heydorn, considérant qu’il est dangereux pour un enfant d'ascendance partiellement juive de rester en Allemagne, demandent à ses parents de le reprendre. Les retrouvailles sont de courte durée : son père Sacha est bientôt emprisonné au camp du Vernet en Ariège. En 1940, Hanka et son fils Alexander sont emmenés au camp de Rieucros, en Lozère ; le jeune Alexander est autorisé à quitter le camp pour étudier dans une école de Mende, ville voisine. Il francise alors son prénom en « Alexandre ». En 1942, son père Sacha est transféré de Vernet à Drancy puis déporté à Auschwitz où il meurt la même année. De 1942 à 1944, après le franchissement de la ligne de démarcation par les troupes allemandes, Alexandre est caché au Chambon-sur-Lignon, à « la Guespy », une maison d'enfants du Secours suisse, où sont également cachés de nombreux autres jeunes victimes des lois raciales. Il est alors élève du collège Cévenol, de la même ville, où il passe son baccalauréat à la fin de la guerre.

Étudiant

À la fin de la guerre, Alexandre et sa mère s'installent près de Montpellier, où ils vivent modestement grâce à la bourse d'études d'Alexandre. Inscrit en mathématiques à l'université de Montpellier, il fréquente très peu les amphithéâtres, préférant travailler seul à la définition du concept de volume, ses premières recherches, en même temps qu'elles l'initieront à la solitude du chercheur, le mèneront à redéfinir l'intégrale de Lebesgue.

En 1948, il décide de poursuivre des études en mathématiques à Paris. Il frappe à la porte d'André Magnier, inspecteur général de mathématiques et membre de l'Entraide universitaire de France, qui lui accorde une bourse. Le professeur Henri Cartan l'admet dans ses séminaires à l'École normale supérieure (ENS) et le dirige vers Jean Dieudonné. Alexandre fait connaissance avec l'élite des mathématiciens français de l'époque mais on lui conseille de quitter l'atmosphère parisienne et il se rend à Nancy — autre « bastion » des mathématiques à l'époque, dans le domaine de l'analyse fonctionnelle — pour préparer sa thèse auprès de Jean Dieudonné et Laurent Schwartz. À 20 ans et en l'espace de quelques mois, Alexandre Grothendieck rédige l’équivalent de six thèses de doctorat.

C'est le début de sa carrière mathématique.

Mathématicien

Il est attaché de recherche du CNRS de 1950 à 1953. Des six articles qu'il rédige pendant cette période, il en choisit un, « Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires », pour soutenir sa thèse. À la suite de la présentation à Paris, par Laurent Schwartz, des travaux d'Alexandre, celui-ci intègre le groupe de Nicolas Bourbaki où il restera plusieurs années. Père d'un enfant, il peine à trouver un travail. Sa situation d'apatride l'empêche d'accéder aux emplois de la fonction publique et la naturalisation ne peut être obtenue qu'après avoir accompli le service militaire : il refuse et doit donc trouver un moyen de gagner sa vie. Il quitte la France pour travailler, en tant que professeur invité, au Brésil de 1953 à 1954 — il est alors chargé de recherche du CNRS — puis à l’Université du Kansas en 1955 et à l’Université de Chicago. C'est au cours de cette période qu'il change de sujet d'étude.

Après des travaux remarquables en analyse fonctionnelle, il se tourne vers la géométrie algébrique. Il révolutionne ce domaine en établissant de nouvelles fondations et introduit la notion de schéma, en collaboration avec Jean-Pierre Serre. Les deux chercheurs correspondent énormément et leurs styles, bien que très différents, se complètent et portent leurs fruits.

Il revient à Paris en 1956 en tant que maître de recherche du CNRS, et se penche sur la topologie et la géométrie algébrique. Il produit alors une nouvelle version du théorème de Riemann-Roch et met en évidence le lien caché entre les propriétés analytiques et topologiques d'une variété.

En 1957, le décès de sa mère le plonge plusieurs mois dans un état dépressif. L'année suivante, il décide de terminer ses travaux inachevés et réalise quelques percées spectaculaires. Il rencontre également sa future femme, Mireille, avec qui il aura trois enfants.

Il est accueilli dans le tout nouvel Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), consacré à la recherche en physique théorique et en mathématiques. Il y est rejoint par Jean Dieudonné, René Thom, Louis Michel et David Ruelle, et entreprend de construire une théorie de la géométrie algébrique.

Entre 1960 et 1967, il rédige les quatre premiers chapitres (divisés en huit volumes) des Éléments de géométrie algébrique, en collaboration avec Jean Dieudonné.

Lauréat de la médaille Fields en 1966, il refuse de se rendre en URSS pour la recevoir.

Écologiste radical

Un voyage au Viêt Nam en 1967, le printemps de Prague et Mai 68 le poussent vers les milieux contestataires jusqu'à ce qu'il démissionne de l'IHÉS en 1970, protestant contre le financement partiel de l'institut par le ministère de la Défense.

À la suite de sa démission, il fonde avec Pierre Samuel et Claude Chevalley le groupe écologiste et politique Survivre et vivre dans le but de propager ses idées antimilitaristes et écologistes.

Grothendieck obtient un poste de professeur associé au Collège de France où, plutôt que d’enseigner les mathématiques – ce qu’on attend de lui – il dispense un cours intitulé « Faut-il continuer la recherche scientifique ? ». Son affectation n’est pas renouvelée : « une majorité de professeurs du Collège de France a voté contre, une première dans l’histoire de la vénérable institution ».

En 1972, aux États-Unis, Grothendieck rencontre Justine Bumby, une étudiante en mathématiques ; il divorce alors et fonde avec elle une communauté près de Paris. En 1973, il obtient un poste de professeur à l’université de Montpellier, qu'il occupe jusqu'à sa retraite en 1988. Le couple déménage dans un village de l'Hérault et expérimente la contre-culture. Justine Bumby donne naissance à un enfant, John, devenu lui-même mathématicien ; elle quitte son compagnon peu de temps après.

Grothendieck écrit quatre livres de 1980 à 1995 : La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Esquisse d'un Programme, À la poursuite des champs et Les Dérivateurs. Par ailleurs, le plus célèbre de ses ouvrages est Récoltes et Semailles, une autobiographie de près d’un millier de pages, écrite vers 1985, qui ne trouve pas d'éditeur. Il y montre comment sa vie a été successivement traversée par trois passions : les mathématiques, la quête de la femme et la méditation.

En 1988 il refuse le prix Crafoord, qu’il devait partager avec Pierre Deligne, invoquant que :

• [son] salaire de professeur […], est beaucoup plus que suffisant pour [ses] besoins matériels ;
• les chercheurs de haut niveau auxquels s'adresse un prix prestigieux comme le prix Crafoord sont tous d'un statut social tel qu'ils ont déjà en abondance et le bien-être matériel et le prestige scientifique, ainsi que tous les pouvoirs et prérogatives qui vont avec ;
• il s’est éloigné du milieu scientifique depuis 1970 et la récompense porte sur des travaux vieux de vingt-cinq ans.

Il rejette également une Festschrift, un livre rédigé en son hommage à l'occasion de son soixantième anniversaire, persuadé que son œuvre a été mal comprise.

En 1990, il s'installe dans les Pyrénées, à Lasserre, où il mène une vie de quasi-ermite jusqu'à sa mort à l'hôpital proche de Saint-Girons en 2014.

Travaux et influence

Le gros de l’œuvre de Grothendieck est publié dans les monumentaux, quoique inachevés, Éléments de géométrie algébrique (EGA) et dans le Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie (SGA). La collection Fondements de la géométrie algébrique (FGA) réunit pour sa part sa série d'exposés au séminaire Bourbaki.

Une avancée fondamentale que l’on doit à Grothendieck est l’invention de la théorie de la cohomologie étale et de la cohomologie l-adique, qui en est issue et servit de fondement pour faire passer les conjectures de Weil au stade de théorème, en particulier grâce au travail de Pierre Deligne, l'un des élèves de Grothendieck.

Par ailleurs, son travail a servi de base à Gerd Faltings pour démontrer la conjecture de Mordell, connue depuis comme le théorème de Faltings.

Dans son autobiographie, il classe ainsi ses contributions majeures (par ordre chronologique d'apparition) :

1. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires
2. Dualité « continue » et « discrète » (catégories dérivées, « six opérations » )
3. Yoga Riemann-Roch-Grothendieck (K-théorie, relation à la théorie des intersections (en))
4. Schémas
5. Topos
6. Cohomologie étale et l-adique
7. Motifs et groupe de Galois motivique (?-catégories de Grothendieck)
8. Cristaux et cohomologie cristalline, yoga « coefficients de De Rham », « coefficient de Hodge »
9. « Algèbre topologique » 8-champs, dérivateurs ; formalisme topologique des topos, comme inspiration pour une nouvelle algèbre homotopique
10. Topologie modérée
11. Yoga de géométrie algébrique anabélienne, théorie de Galois-Teichmüller
12. Point de vue « schématique » ou « arithmétique » pour les polyèdres réguliers et les configurations régulières en tous genres.

Pendant des années, il accumule des « cartons pleins avec mes gribouillis, que je dois être le seul à pouvoir déchiffrer ». En 1991, il confie à un de ses anciens étudiants, Jean Malgoire, cinq de ces cartons, contenant quelque 20 000 pages de notes rédigées depuis 1970. En 2010, il écrit à Malgoire pour lui interdire toute publication de ces notes, entreposées à la faculté de Montpellier.

De même, en janvier 2010, il déclare, dans une lettre adressée au mathématicien Luc Illusie, qu'il refuse toute diffusion de ses œuvres que ce soit par édition numérique ou publication/republication papier.

Luc Gomel, conservateur national, responsable du patrimoine de l’université de Montpellier, qui veille sur les « cartons » aujourd’hui, souhaite les faire classer « trésor national » afin qu'ils échappent au droit commun et donc au refus d'Alexandre Grothendieck de les mettre à la disposition de la communauté scientifique.

Œuvre

Mathématique

Ci-dessous une liste des principales publications d'Alexandre Grothendieck, proche de celle dressée par le magazine La Recherche en 201418. Une liste plus exhaustive est disponible sur le Grothendieck Circle19.

• Alexandre Grothendieck, « Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires », Memoirs of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, no 16,‎ 1955, p. 1-140 (présentation en ligne, lire en ligne).
• Alexandre Grothendieck, « Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques », Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Sao Paulo, Sociedad Matemática Mexicana, no 8,‎ 1956, p. 1-79 (lire en ligne).
• Alexandre Grothendieck (dir.), Armand Borel et Jean-Pierre Serre, « Le théorème de Riemann-Roch », Bulletin de la Société mathématique de France, Société mathématique de France, no 86,‎ 1956, p. 97-136 (lire en ligne).
• Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique », Tôhoku Math J., Université du Tōhoku, vol. 9, no 2,‎ 1957, p. 119-221 (résumé).
• Alexandre Grothendieck (dir.) et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique (EGA), IHÉS,‎ 1960-1967, 1774 p.
  • « EGA 1 : Le Langage des schémas », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 4,‎ 1960, p. 5-228 (lire en ligne).
  • « EGA 2 : Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 8,‎ 1961, p. 5-222 (lire en ligne).
  • « EGA 3 : Étude cohomologique des faisceaux cohérents », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 11, 17,‎ 1964-1967, p. 5-167, 5-91 [tome 1] [tome 2].
  • « EGA 4 : Étude locale des schémas et des morphismes de schémas », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 20, 24, 28, 32,‎ 1961-1963, p. 5-259, 5-231, 5-255, 5-361 [tome 1] [tome 2] [tome 3] [tome 4].
• Alexandre Grothendieck (dir.), Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie (SGA) : 1960-1969, Springer Verlag et North Holland,‎ 1968-1973, 6521 p.
  • Michèle Raynaud, « SGA 1 : Revêtements étales et groupe fondamental : 1960–1961 », Lecture Notes in Mathematics, vol. 224,‎ 1971, p. 1-447 (présentation en ligne, lire en ligne).
  • Michèle Raynaud, « SGA 2 : Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux : 1961–1962 », Advanced Studies in Pure Mathematics, North Holland,‎ 1968, p. 1-287 (lire en ligne).
  • Michel Demazure, « SGA 3 : Schémas en groupes : 1962–1964 », Lecture Notes in Mathematics, vol. 151, 152, 153,‎ 1970, p. 1-564, 1-654, 1-529 (présentation en ligne).
  • Michael Artin, Jean-Louis Verdier et al., « SGA 4 : Théorie des topos et cohomologie étale des schémas : 1963–1964 », Lecture Notes in Mathematics, vol. 269, 270, 305,‎ 1972-1973, p. 1-525, 1-418, 1-640 [tome 1] [tome 3].
  • Pierre Deligne (compilation de textes de SGA 4 et SGA 5), « SGA 4 1/2 : Cohomologie étale », Lecture Notes in Mathematics, vol. 569,‎ 1977, p. 1-312 (présentation en ligne, lire en ligne).
  • Luc Illusie, Jean-Pierre Serre et al., « SGA 5 : Cohomologie l-adique et fonctions L : 1965–1966 », Lecture Notes in Mathematics, vol. 589,‎ 1977, p. 1-484 (lire en ligne).
  • Luc Illusie, Pierre Berthelot et al., « SGA 6 : Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch : 1966–1967 », Lecture Notes in Mathematics, vol. 225,‎ 1971, p. 1-700 (présentation en ligne).
  • Pierre Deligne et Nicholas Michael Katz, « SGA 7 : Groupes de monodromie en géométrie algébrique : 1967–1969 », Lecture Notes in Mathematics, vol. 288, 340,‎ 1972-1973, p. 1-523, 1-438 (présentation en ligne).
• Alexandre Grothendieck, Esquisse d'un programme, Université Paris 6, Grothendieck Circle,‎ 1984, 44 p. (lire en ligne).
• Alexandre Grothendieck, Les Dérivateurs, Université Paris 6, édité par Matthias Künzer, Jean Malgoire et Georges Maltsiniotis,‎ 1991, 1976 p. (présentation en ligne, lire en ligne).