Dzimis Lubānas pagasta "Aizpurvos". Mācījies Lubānā un Rēzeknē, 1924. gadā iestājies Latvijas Universitātes Medicīnas fakultātē, ko absolvējis 1928. gadā ar ārsta diplomu. Lai arī visu mūžu strādājis par ārstu, tomēr K. Vilka galvenais aicinājums bija putnu pētniecība, kam aktīvi pievērsās vismaz no 1925. gada, kad sāka darboties Nikolaja fon Tranzē izveidotajā Latvijas Ornitoloģijas centrālē (LOC). Pēc augstskolas beigām strādājis Ancē, Mežamuižā (Meirānu pagastā), Lejasciemā, Nauļānos.

1940. gadā pārcēlies uz Jelgavu, kur strādājis par psihiatru Ģintermuižas psihoneiroloģiskajā slimnīcā, vienlaikus arī lasījis lekcijas Lauksaimniecības akadēmijas Mežsaimniecības fakultātē. 1940. gadā kļuva par LOC vadītāju. 1944. gada otro pusi un 1945. gada pirmo pusi pavadīja Ancē. Pēc kara pārcēlies uz Rīgu, kur strādāja Rīgas Psihoneiroloģiskajā slimnīcā, bet 1946. gadā uz Strenčiem, kur strādāja psihoneiroloģiskajā slimnīcā līdz aiziešanai pensijā 1970. gadā (kā galvenais ārsts 1946.-1951.g.).

1985. gadā Kārli Vilku ievēlēja par Latvijas Ornitoloģijas biedrības Goda biedru. 1986. gadā izdota viņa grāmata “Atmiņas par putniem”.