Александр Гротендік (народився 28 березня 1928 у Берліні, Німеччина) — один із найвпливовіших математиків двадцятого сторіччя, входив до групи математиків, які виступали під псевдонімом Бурбакі. Відомий переважно революційним вкладом в алгебраїчну геометрію, а також значним внеском в теорію чисел, теорію категорій і гомологічну алгебру, та ранніми досягненнями в функціональному аналізі. Він був нагороджений медаллю Філдса в 1966 році і Премією Крафорда разом з П'єром Делінем в 1988 році, від якої Гротендік відмовився.

Він відомий майстерністю абстрактних підходів до математики і досконалістю в справі формулювання й подання. Дійсно, зростаюча абстракція й формалізація чистої математики 20-ого сторіччя завдячують частково його впливу. Відносно небагато його робіт було видано після 1960 року в наукових журналах, циркулюючи спочатку в чисельних конспектах семінарів; він зробив значний вплив на французьку математику та школу Зарицького в Гарвардському університеті. Після виходу на пенсію в 1988 році усамітнився.

Математичні досягнення

Рання математична робота Гротендіка була зроблена в галузі функціонального аналізу між 1949 і 1953, в рамках його дисертації в Нансі, під керівництвом Жана Дьєдонне і Лорана Шварца. Його основні результати стосуються топологічного тензорного добутку топологічних векторних просторів, також ним розвинута теорія ядерних просторів як основа для розподілу Шварца, і застосування Lp просторів при вивченні лінійних відображень між топологічними векторними просторами. Через кілька років він перетворився в провідного авторитета в цій галузі функціонального аналізу — до такого ступеня, що Дьєдонне порівнював його вплив у цій галузі до впливу Банаха.

Однак, Гротендік зробив найважливіший й найвпливовіший внесок в алгебраїчній геометрії і зв'язаних областях. Приблизно з 1955 він почав працювати над теорією пучків та гомологічною алгеброю, публікуючи впливову «Sur quelques points d'algebre homologique» в 1957 році, де він ввів категорії Абеля і застосовував їхню теорію, щоб показати, що когомологія пучка може бути визначена як певні похідні функтори у цьому контексті.

Гомологічні методи й теорія пучків вже були введені в алгебраїчній геометрії Жан-Пьєр Серром, після того, як пучки були визначені Жаном Лере. Гротендік перейшов до більш високого рівня абстракції й перетворив їх у ключовий принцип організації своєї теорії. Він у такий спосіб змінив інструменти й рівень абстракції в алгебраїчній геометрії. Він перемістив увагу від дослідження індивідуальних варіантів до відносної точки зору (пари варіантів, зв'язаних морфізмом), дозволяючи широке узагальнення багатьох класичних теорем. Першим важливим застосуванням була відносна версія теореми Жан-Пьєра Серра, яка показала, що когомологія послідовного пучка на многовиді має обмежену розмірність; теорема Гротендіка показує, що вищі прямі образи послідовних пачок під належним відображенням є послідовними; це зводиться до теореми Серра для простору з однією точкою.

В 1956, він застосовував ті ж самі ідеї до теореми Рімана — Роха, яка була узагальнена до будь-якого виміру Фрідріхом Хірцебрухом. Теорема Гротендіка — Рімана — Роха була подана Гротендіком на Mathematische Arbeitstagung в Бонні в 1957 році. Вона була надрукована в роботі, написаній Арманом Борелем і Серром. Цей результат був його першим великим досягненням в алгебраїчній геометрії. Гротендік продовжував виконувати програму перебудови засад алгебраїчної геометрії на семінарі Клода Шевалле. Свою програму він презентував загалом в доповіді у 1958 році на Міжнародному Конгресі Математиків.

Його основна робота в галузі алгебраїчної геометрії була на вищому рівні абстракції ніж всі попередні версії. Він пристосував використання незамкнених загальних точок, що призвело до теорії схем. Він також започаткував систематичне використання нільпотентів. Як функції вони можуть приймати лише значення 0, але вони несуть нескінченно малу інформацію, у простому алгебраїчному сенсі. Його теорія схем стала кращою універсальною основою для цієї галузі, як через її велику виразну потужність, так і через технічну глибину. Це дало можливість використовувати біраціональну геометрію, методи теорії чисел, теорію Галуа і комутативної алгебри, і близькі аналоги методів алгебраїчної топології інтегрованим способом. Його вплив помітний у багатьох інших галузях математики, наприклад сучасній теорії D-модулів. (Це викликало ворожу реакцію у багатьох математиків, що шукають більш конкретні області й задачі).

EGA і SGA

Більша частина робіт Гротендіка зібрана в монументальних, і все-таки неповних, Elements de geometrie algebrique (EGA) і Seminaire de geometrie algebrique (SGA). Збірка Fondements de la Geometrie Algebrique" (FGA), яка складається з доповідей на семінарі Бурбакі також містить важливий матеріал.

Можливо найглибше досягнення Гротендіка — відкриття теорій етальної когомології і l-адичної когомології, які прояснюють гіпотезу Андре Вейля про існування глибокого зв'язку між топологічними особливостями многовида і його діофантовими (теоретико-числовими) властивостями. Наприклад, число розв'язків рівняння в скінченній області визначає топологічну природу її розв'язків в області комплексних чисел. Вейль зрозумів, що, для того аби довести такий зв'язок потрібна нова теорія когомології, але ні він, ні будь-який інший експерт не бачили, як це зробити, поки така теорія не була розроблена Гротендіком.

Ця програма досягала вищої точки в доведеннях гіпотез Вейля, останні з яких були доведені учнем Гротендіка П'єром Делінем на початку 1970-их років після того, як Гротендік у значній мірі пішов з математики.

Головні математичні теми (від «Урожаї і посіви»)

Він написав ретроспективну оцінку своєї математичної творчості. Як свої головні математичні досягнення, він вибрав цей список із 12 тем в хронологічному порядку:

1. Топологічні тензорні добутки і ядерні простори.
2. «Неперевний» та «дискретний» дуалізм (похідні категорії, «шість операцій»).
3. «Йога» Рімана — Роха — Гротендіка (K-теорія, зв'язок з теорією перетинання).
4. Схеми.
5. Топоси.
6. Етальні і l-адичні когомології.
7. Мотиви, мотивна группа Галуа і A-категорії Гротендіка.
8. Кристали і кристальні когомології, «йога» коефіцієнтів де Рама, коефіцієнтів Ходжа.
9. «Топологічна алгебра»:∞-стеки, відгалужувачі; когомологічний формалізм топосів як основа для нової гомотопічної алгебри.
10. Ручна топологія.
11. «Йога» анабелевої алгебраїчної геометрії, теорія Галуа—Тейхмюллера.
12. «Теоретико-схематична» або «арифметична» точка зору на правильні многогранники і правильні конфігурації довільного роду.

Він написав, що центральна тема з вище вказаних — тема теорії топосів, у той час як перша і остання мають найменшу вартість для нього.

Тут термін «йога» позначає свого роду «метатеорію», що може використовуватися евристично, як еквівалент «нитки Аріадни» та «філософії».

Життя

Родина й молодість

Олександр Гротендік народився в Берліні у родині анархістів: батько (Саша Шапіро, також відомий як Танаров) походив з радикальної хасидської родини з України, мати (Джоанна «Ганка» Гротендік) з німецької протестантської сім'ї. Обоє батьків покінчили зі своїм минулим у підлітковому віці. Під час народження Гротендіка його матір була одружена з Йоганом Радацем, німецьким журналістом, і він спочатку був зареєстрований як Александр Радац. Шлюб був розірваний в 1929, і Шапіро/Танаров визнав своє батьківство, але ніколи не одружився з Ганкою Гротендік.

Гротендік жив зі своїми батьками до 1933 року в Берліні. Наприкінці того року Шапіро, переїхав до Парижу, і Ганка, послідувала за ним у наступному році. Вони залишили Гротендіка на піклуванні Вільгейма Хейдорна, лютеранського пастора і вчителя в Гамбурзі, де він пішов у школу. У цей час, його батьки воювали в іспанській громадянській війні на стороні республіканців.

Під час Другої Світової Війни

В 1939 Гротендік прибув у Францію й жив у різних таборах для біженців разом зі своєю матір'ю, спочатку в таборі Рієкро, згодом під кінець війни в селі Шамбо-на-Линьоні, де він ховався у місцевих пансіонах. Його батька інтернували до концентраційного табору Освенцім, де він загинув у 1942 році. У той час як Гротендік жив в Шамбо, він відвідував Севенський коледж, унікальну середню школу, засновану в 1938 місцевими протестантськими пацифістами й активістами антивоєнного руху. Багато хто з дітей біженців, які переховувались в Шамбо, відвідували Севен, і саме в цій школі Гротендік очевидно захопився математикою.

Математичні дослідження

Після війни молодий Гротендік вивчав математику у Франції, спочатку в університеті Монпельє. Він вирішив стати вчителем математики, бо йому сказали, що математичні дослідження закінчились на початку 20-ого сторіччя і більше ніяких нових проблем не залишилось. Однак, його талант був помічений, і йому запропонували поїхати до Парижу в 1948 році.

Спочатку, Гротендік відвідував семінар Анрі Картана в Вищій нормальній школі, але брак необхідних знань для занять на потужному семінарі, змусив його переїхати до Університету в Нансі, де він написав свою дисертацію з функціонального аналізу під керівництвом Лорана Шварца з 1950 до 1953. У цей час він був провідним експертом з теорії топологічних векторних просторів. В 1957 він покинув цю галузь, щоб працювати в алгебраїчній геометрії та гомологічній алгебрі.

Роки IHES

Прийнятий до Інституту вищих наукових досліджень (Institut des Hautes Etudes Scientifiques, IHES), Гротендік привернув увагу інтенсивною й дуже продуктивною діяльністю семінарів (фактично створення робочих груп із найздібніших французів та інших математиків молодшого покоління). Гротендік фактично припинив публікацію робіт в звичних наукових журналах. Однак, він відігравав домінуючу роль у математиці протягом приблизно десятиліття організовуючи сильну школу.

'Золоте Століття'

Робота Александра Гротендіка під час періоду «Золотого Століття» в IHES була відзначена успіхами в алгебраїчній геометрії, теорії чисел, топології, теорії категорій і аналізі комплексних чисел. Ще до IHES він здійснив прорив в алгебраїчній геометрії алгебраїчним доведенням теореми Гротендіка — Хірцебруха — Рімана — Роха, яка була широким узагальненням теореми Хірцебруха — Рімана — Роха; у цьому контексті він також запровадив K-теорію. Потім, здійснюючи програму, яку він подав в 1958 на Міжнародному конгресі математиків, він ввів теорію схем, докладно описану в Elements de geometrie algebrique (EGA), і нового більш гнучкого і загального апарату для алгебраїчної геометрії. Продовженням стало запровадження етальної когомології теорії схем, яка забезпечувала ключові інструменти для доведення Гіпотези Вейля, так само як кристальної когомології і алгебраїчної когомології де Рама. Близько пов'язаний із цими теоріями когомології, він став автором теорії топосів як узагальнення топології (що має відношення до логіки категорій). Він також забезпечив алгебраїчне визначення фундаментальних груп схем і ширше головних структур категорій теорії Галуа. Як структуру для його послідовної теорії дуальності, він також ввів похідні категорії, які були далі розвинені Верд'єром.

Результати роботи над цими й іншими темами були видані в EGA і в менш відточеній формі в примітках Seminaire de geometrie algebrique (SGA), які він виконав в IHES.

Політика й відступ від наукового співтовариства

Політичні погляди Гротендіка були радикальними й пацифістськими. У такий спосіб він настійно виступав і проти агресії Сполучених Штатів у В'єтнамі, і проти радянського військового експансіонізму. Протестуючи проти в'єтнамської війни, він давав лекції з теорії категорій у джунглях Ханою, під час бомбардування міста. Гротендік припинив наукове життя приблизно в 1970, довідавшись про часткове військове фінансування IHES. Він повернувся до наукової роботи через кілька років як професор в Університеті Монпельє, де він залишився до своєї відставки в 1988 році. Його критика наукового співтовариства, і особливо кіл математиків, викладені в листі, написаному в 1988, у якому він заявляє причини своєї відмови від Премії Крафорда через етичні підстави. (Математика, де ніщо ніколи не настільки ж просте, як це здається).

У той час як проблема військового фінансування була можливо найочевиднішим поясненням виходу Гротендіка з IHES, ті, хто знав його, говорять, що причини розриву були глибшими. П'єр Карт'є написав роботу про Гротендіка для спеціального номеру, виданого з нагоди сорокової річниці IHES. В 1990 році була видана тритомна «Ювілейна збірка Гротендіка» з науково-дослідних робіт на відзначення його шістдесятиріччя, що припало на 1988 рік.

У ньому Карт'є відзначає, що Гротендік, як син антивоєнного анархіста, який зростав серед людей позбавлених цивільних прав, завжди відчував глибокий жаль до бідних і розтоптаних. Для Гротендіка Бюр-сюр-Іветт був «золотою кліткою». У той час як Гротендік був в IHES, опозиція в'єтнамській війні зростала і це також зміцнило відразу Гротендіка до того, щоби бути гвинтиком наукового світу. Крім того, після декількох років в IHES Гротендік, здавалося, шукав нові інтелектуальні інтереси. До кінця 1960-х він почав цікавитися науковими галузями поза математикою. Девід Рулле, фізик, що приєднався до IHES в 1964, сказав, що Гротендік говорив з ним кілька разів про фізику. (В 1970-их Рулле і голландський математик Флоріс Такенс зробили нову модель для турбулентності, і саме Рулле винайшов поняття дивного аттрактора у динамічній системі). Біологія зацікавила Гротендіка набагато більше ніж фізика, і він організовував деякі семінари на біологічні теми.

Після від'їзду з IHES Гротендік спробував, але не спромігся отримати місце в Колеж де Франс.

Після цього він перейшов в Університет Монпельє, де він став усе більше віддалятися від математичного товариства. В цей час Гротендік заснував групу названу Survivre, що займалась антивоєнними і екологічними проблемами. Його математична кар'єра, значною мірою, закінчилася, коли він залишив IHES. В 1984 він написав пропозицію на отримання місця в Centre National de la Recherche Scientifique. Пропозиція, названа Esquisse d'un programm («Ескіз Програми»), описує нові ідеї для вивчення простору модулів комплексних кривих. Хоча Гротендік безпосередньо ніколи не видавав робіт в цій галузі, пропозиція стала натхненням для роботи інших математиків й джерелом теорії dessin d'enfant (дослівно «дитяче малювання», візуалізація поверхонь Рімана)

Рукописи, написані в 1980-ті

Хоча він не публікує математичні дослідження звичайним шляхом під час 1980-их років, він випустив кілька впливових рукописів з обмеженим доступом, як математичного так і біографічного змісту. Під час цього періоду він випустив свою роботу про теореми типу Бертіні що містяться в EGA 5, виданій в 2004 році.

Довгий шлях через теорію Галуа це приблизно 1600 сторінок рукописного тексту. Рукопис Гротендіка 1980—1981-х років, містить багато ідей, що ведуть до Esquisse d'un programme (довгострокової програми Гротендіка) і, зокрема, вивчення теорії Тейхмюллера.

У 1983 році він написав величезний рукопис (близько 600 сторінок), що має назву Переслідуючи Стеки, під впливом листування з Рональдом Брауном і Тімом Портером з Університету Бангор в Уельсі, який починається з листа до Даніеля Квіллена. Цей лист і наступні частини були розповсюджені з міста Бангор в неофіційному порядку, як свого роду щоденник, де Гротендік пояснив і розвинув свої ідеї про взаємозв'язок між теорією алгебраїчних гомотопій та алгебраїчною геометрією та перспективами некомутативної теорії стеків. Рукопис, який був відредагований для друку Г. Малтсініотісом, пізніше призвів до іншої його монументальної роботи, Les Derivateurs (Відгалужувачі). Написаний у 1991 році, це останній опус близько 2000 сторінок містить подальший розвиток гомотопічних ідей започаткованих в Переслідуючи Стеки. Велика частина цієї роботи передбачила подальший розвиток теорії мотивів гомотопій Ф. Морелем і В. Воєводським в середині 1990-х.

Його Esquisse d'un programm (1984) є пропозицією на посаду в Національному центрі наукових досліджень, яку він займав з 1984 до своєї відставки в 1988 році. Ідеї її виявилися впливовими і були розроблені іншими, зокрема dessin d'enfant та новоутворена галузь — анабелева геометрія.

1000 сторінок автобіографічного рукопису Recoltes et semailles (1986) тепер доступна в Інтернеті на французькій мові і в перекладі на англійську мову. Окремі частини перекладені на російсьу мову

Пенсійне усамітнення

З 1991 року Гротендік майже не підтримує контактів з математичним товариством. Вважається, що він живе на півдні Франції або в Андоррі і веде усамітнений спосіб життя. У січні 2010 року, Гротендік написав листа Люку Іллюсі. У цьому листі під назвою «Declaration d'intention de non-publication», він стверджує, що практично всі матеріали, які були опубліковані за час його відсутності, зроблені без його дозволу. Гротендік висловив прохання, щоб жодна з його робіт не була відтворена повністю або частково, і щоб бібліотеки, що містять такі копії його робіт, їх видалили.

Особливості математичної творчості

Гротендік вважає, що кожний крок у доказі теорем повинен бути зовсім зрозумілий. На відміну від багатьох математиків, що вважають кожну теорему із простим доказом тривіальною й неважливою, він так не вважає. Усяка теорема в нього розпадається на ряд найпростіших лем. З одного боку це полегшує читання його праць, з іншого боку запам'ятовування численних нових понять іноді стає тяжким (взагалі, попри те, що Гротендік довів багато фундаментальних тверджень, наприклад, узагальнену теорему Рімана-Роха, його внесок в математику в основному полягає у введенні загальних фундаментальних понять — у цьому він, мабуть, найяскравіший «бурбакіст»). Через це багато математиків «задачної школи», які вважають, що мета математики — розв'язок задач, по можливості з мінімумом введення нових понять, його (класичного «творця теорій») недолюблюють. Крім того через точку зору Гротендіка на те, що доказ повинен полягати в розбивці на ряд очевидних кроків він, наприклад, не визнає доказу знаменитої «задачі чотирьох фарб», яка була розв'язана за допомогою обчислень на комп'ютері, причому його бентежить не можливість помилки програми або збою комп'ютера, скільки сама неможливість осягнути цей доказ людиною.

Книги російською мовою

• Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. — М: ИЛ, 1961.
• Гротендик А. Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий// Международный конгресс математиков в Эдинбурге. — М: ИЛ, 1962.
• Гротендик А. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика. -Ижевск: «Удмуртский университет», 1999; R&C Dynamics, РХД Москва — Ижевск, 2002.